==Ассоциированная матрица==

Раздел содержит материал теоретического значения, не очень существенный[[По крайней мере, в ближайшей перспективе.]] для остальных разделов.

Для $ m\times n_{}  $-матрицы $ A_{} $ рассмотрим ее всевозможные ((algebra2:dets#теорема_лапласа миноры)) порядка $ k_{} $:  
$$
A\left(
\begin{array}{lll}
\alpha_1 & \dots & \alpha_k \\
\beta_1 & \dots & \beta_k
\end{array}
\right) =
\left|
\begin{array}{lll}
a_{\alpha_1 \beta_1} & \dots & a_{\alpha_1 \beta_k} \\
\dots & & \dots \\
a_{\alpha_k \beta_1} & \dots & a_{\alpha_k \beta_k}
\end{array}
\right|.
$$
Составим из этих миноров матрицу, упорядочив их так, чтобы определяющие их индексы $ (\alpha_1, \dots , \alpha_k) $ располагались в ((:polynomialm#общая_информация лексикографическом))
порядке по строкам, а индексы  $ (\beta_1, \dots , \beta_k) $ --- по столбцам. Такая матрица имеет порядок $ C_m^k \times C_n^k $,  обозначается $ A^{(k)} $ и называется $ \mathbf k $**-й ассоциированной матрицей** для матрицы $ A_{} $.
Очевидно, $ A^{(1)}=A $.

!!П!! **Пример.** Для матрицы 
$$
A=
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} 
\end{array}
\right)
$$
имеем:

$$
A^{(2)}=
\left(
\begin{array}{cccccc}
\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|, & 
\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23}
\end{array}
\right|, &
\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{14} \\
a_{21} & a_{24}
\end{array}
\right|, &
\left|
\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}
\end{array}
\right|, &
\left|
\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{14} \\
a_{22} & a_{24}
\end{array}
\right|, & 
\left|
\begin{array}{cc}
a_{13} & a_{14} \\
a_{23} & a_{24}
\end{array}
\right| \\
&&&&& \\
\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}
\right|, & 
\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}
\end{array}
\right|, &
\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{14} \\
a_{31} & a_{34}
\end{array}
\right|, &
\left|
\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right|, &
\left|
\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{14} \\
a_{32} & a_{34}
\end{array}
\right|, & 
\left|
\begin{array}{cc}
a_{13} & a_{14} \\
a_{33} & a_{34}
\end{array}
\right| \\
&&&&& \\
\left|
\begin{array}{cc}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}
\right|, & 
\left|
\begin{array}{cc}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{array}
\right|, &
\left|
\begin{array}{cc}
a_{21} & a_{24} \\
a_{31} & a_{34}
\end{array}
\right|, &
\left|
\begin{array}{cc}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right|, &
\left|
\begin{array}{cc}
a_{22} & a_{24} \\
a_{32} & a_{34}
\end{array}
\right|, & 
\left|
\begin{array}{cc}
a_{23} & a_{24} \\
a_{33} & a_{34}
\end{array}
\right|
\end{array}
\right)
$$
$$
A^{(3)}=
\left( \left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}  \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} 
\end{array} \right|,\
\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{14}  \\
a_{21} & a_{22} & a_{24}  \\
a_{31} & a_{32} & a_{34} 
\end{array} \right|,\
\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{13} & a_{14}  \\
a_{21} & a_{23} & a_{24}  \\
a_{31} & a_{33} & a_{34} 
\end{array} \right|,\
\left|
\begin{array}{ccc}
a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34} 
\end{array}
\right|
\right) \ .$$

!!Т!! **Теорема [Коши, Сильвестр].** //Для квадратной матрицы// $ A_{} $ //порядка// $ n_{} $ //все матрицы// $ A^{(k)} $ //будут квадратными и//
$$ \det A^{(k)} = (\det A)^{C_{n-1}^{k-1}} \ .$$

Следующая теорема является естественным обобщением теоремы ((algebra2:dets#теорема_бине_-_коши Бине-Коши)).

!!Т!! **Теорема.** //Пусть матрица// $ A_{} $ //имеет порядок// $ m \times n_{} $,// а матрица// $ B_{} $ --- //порядок// $ n \times p $. //Тогда для любого// $ k \in \{ 1,\dots, \min (m,n,p) \} $ //будет выполнено//:
$$ (A\cdot B)^{(k)} = A^{(k)} \cdot B^{(k)} \ . $$

!!Т!! **Теорема.** //Если квадратная матрица// $ A_{} $ порядка $ n_{} $ имеет  ((:algebra2:charpoly#собственное_число собственные числа)) 
$ \{ \lambda_1,\dots,\lambda_n \} $, то матрица  $ A^{(k)} $ //имеет собственные числа равные произведениям// $ \lambda_{j_1} \times \dots \times \lambda_{j_k} $ //при всевозможных ((:basics:combinatorics#сочетания сочетаниях)) из// $ n_{} $ //индексов// $ \{ 1,\dots,n_{} \} $ //по// $ k_{} $.     

!!П!! **Пример.** Для
$$
A=
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 3 & -2 \\
2 & 3 & 0 \\
1& -5 &1 
\end{array}
\right)
$$
имеем:
$$
A^{(2)}=
\left(
\begin{array}{rrr}
-3 & 4 & 6 \\
-8 & 3 & -7 \\
-13& 2 &3 
\end{array}
\right) \ .
$$
Характеристические полиномы этих матриц:
$$ - (\lambda^3-5\, \lambda^2 + 3\,\lambda -23) \quad u \quad -(\lambda^3-3\, \lambda^2 + 115\,\lambda -529) 
$$
соответственно. На основании ((:polynomial#симметрические_функции_корней формул Виета)), имеем для первого полинома:
$$ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=5,\ \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3 +\lambda_2\lambda_3 = 3, \ \lambda_1\lambda_2 \lambda_3=23 \ . $$
Это соответствует формулам Виета для второго полинома: 
$$ (\lambda_1\lambda_2 \lambda_3)^2 = 529 ,\  \lambda_1^2\lambda_2\lambda_3 +\lambda_1\lambda_2^2\lambda_3 + \lambda_1\lambda_2\lambda_3^2 = 5\times 23 \ . $$

!!Т!! **Теорема.** //Если квадратная матрица// $ A_{} $ //ортогональна, то и матрица//  $ A^{(k)} $ //ортогональна.//



==Источники==

[1]. **Turnbull H.W.** //The Theory of Determinants, Matrices and Invariants.// Blackie & Sons Ltd. 1929 

[2]. **Маршалл А., Олкин И.** //Неравенства: теория мажоризации и ее приложения.// М.Мир. 1983

[3]. **Мишина А.П., Проскуряков И.В.** //Высшая алгебра.// М.Наука. 1965.