!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:charpoly ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ))
==Вещественность собственных чисел симметричной матрицы==
!!Т!! **Теорема.** //Собственные числа вещественной ((:algebra2:symmetric симметричной)) матрицы все вещественны//.
**Доказательство**
I.
Пусть $ A $ вещественная симметричная матрица: $ A= A^{^{\top}} $.
Если $ \lambda \in \mathbb C $ --- ее собственное число, соответствующее
собственному вектору $ {\mathfrak X} =(x_1,\dots,x_n)^{\top} \in \mathbb C^n \ ({\mathfrak X}\ne \mathbb O) $, то
$ A{\mathfrak X}=\lambda {\mathfrak X} $.
Обозначим $ \overline {\mathfrak X} $ вектор комплексно-сопряженный $ {\mathfrak X} $.
Вычислим число $ a=({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X}\in \mathbb C $
$$a=({\overline{\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X} =({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} \lambda {\mathfrak X} = \lambda ({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} {\mathfrak X}= \lambda \underbrace{(|x_1|^2+\dots+|x_n|^2)}_{\in \mathbb R}.$$
Если мы теперь докажем, что $ a \in \mathbb R $, то тогда и $ \lambda \in \mathbb R $.
Имеем:
$$\overline{ a}=(\overline {a})^{^{\top}}=\left(
\overline{(\overline {{\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X}} \right)^{^{\top}}=
\left(
{\mathfrak X}^{^{\top}} \overline{ A } \overline{ {\mathfrak X}} \right)^{^{\top}} =(\overline{ {\mathfrak X}})^{^{\top}}
A^{^{\top}} {\mathfrak X}=(\overline{ {\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X} =a.$$
Но это и означает, что $ a \in \mathbb R $.
**Доказательство**
II
**[Борхардт].** Предыдущее доказательство позволило
установить вещественность всех корней характеристического полинома
симметричной матрицы косвенным путем. Хотя это доказательство и является достаточно компактным,
неплохо было бы уставовить и более непосредственную связь результата теоремы с общими результатами по условиям вещественности всех корней произвольного полинома. Приводимое ниже доказательство основывается на одном из таких результатов, а именно ((:polynomial:zero_local#ганкелевы_матрицы_в_теории_локализации_корней теореме Якоби)).
Рассмотрим ((:euclid_space#определения евклидово пространство)) квадратных матриц порядка $ n $ со скалярным произведением, введенным формулой:
$$ \langle A, B \rangle = \operatorname{Sp} \left(A \cdot B^{^{\top}} \right) \ , $$
рассмотрим систему матриц $ \left\{E,A,A^2,\dots,A^{n-1} \right\} $.
Составим ((:euclid_space#определения матрицу Грама)) этой системы:
$$
G(E,A,A^2,\dots,A^{n-1})=
\left(
\begin{array}{cccc}
\langle E,E \rangle & \langle E,A \rangle & \dots & \langle E,\, A^{n-1} \rangle \\
\langle A,E) & \langle A,A \rangle & \dots & \langle A,\, A^{n-1} \rangle \\
\dots & & & \dots \\
\langle A^{n-1},E \rangle & \langle A^{n-1},A \rangle & \dots & \langle A^{n-1},A^{n-1} \rangle
\end{array}
\right)
\ .
$$
При симметричной матрице $ A $ любая ее степень также является симметричной матрицей.
Тогда
$$ \langle A^{j},A^{k} \rangle= \operatorname{Sp} (A^{j+k}) = s_{j+k} , $$
где $ s_{j} $ означает $ j $-ю ((:dets:discrim:waring#суммы_ньютона_и_квадратные_матрицы сумму Ньютона)) характеристического полинома матрицы $ A $.
Следовательно, сама матрица Грама $ G(E,A,A^2,\dots,A^{n-1}) $ совпадает с матрицей
$$
S=
\left(
\begin{array}{llll}
s_0& s_1 & \dots & s_{n-1} \\
s_1 & s_2 & \dots & s_n \\
\dots & & & \dots \\
s_{n-1} & s_n & \dots & s_{2n-2}
\end{array}
\right)
$$
из теоремы Якоби.
По одному из ((dets:gram#линейная_независимость_векторов свойств матрицы Грама)) все главные миноры $ S_j $ построенной матрицы должны быть неотрицательны.
Следовательно, по ((polynomial:zero_local#ганкелевы_матрицы_в_теории_локализации_корней теореме Якоби)), все корни характеристического полинома матрицы $ A $.
вещественны.
==Источники==
Доказательство I хорошо известно и содержится, например в
[1.] **Фаддеев Д.К.** //Лекции по алгебре.// М.Наука.1984
Доказательство II взято из
[2.] **Серре И.А.** //((:references#серре Курсъ высшей алгебры.))//, cc. 513-518 \\
(разумеется, привожу его в "осовремененном" виде --- матриц Грама там нет и в помине).