!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:charpoly ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ, СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ))
==Задачи==
1.
Известен характеристический полином матрицы $ A_{} $:
$$ \det(A-\lambda E)=(-1)^n \lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_n \ . $$
Найти характеристический полином матрицы $ A^{2} $.
2.
Доказать, что характеристический полином матрицы $ A_{} $ ранга $ \mathfrak r_{} $ имеет вид:
$$ \det(A-\lambda E)=(-1)^n \lambda^n +\dots+a_{\mathfrak r} \lambda^{n-\mathfrak r} \ , $$
т.е. имеет $ \lambda=0 $ корнем кратности $ \ge n-\mathfrak r $. Можно ли последнее неравенство заменить на равенство?
3.
Доказать, что любой собственный вектор матрицы $ A $ является собственным вектором ее ((:algebra2#обращение_матрицы взаимной матрицы)) $ \operatorname{adj}(A) $.
4.
К ((:algebra2:charpoly#метод_леверье методу Леверье)). Определить асимптотику последовательности $ \{Y_K=AY_{K-1}\}_{K=1}^{\infty} $ при
$$
A=\left(\begin{array}{rrrr}
-2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & -1 & -1 \\
1& 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right) \qquad \mbox{ и } \qquad Y_0=
\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right) \ .
$$
5.
Для матрицы
$$
A=\left(\begin{array}{rrrr}
-1& -2 &-3& 0\\
0&2&4&6\\
6&-3&1&2\\
-1&-1&1&1
\end{array}
\right)
$$
найти числа $ \{b_j\}_{j=0}^4 $, обеспечивающие выполнение соотношения
$$
b_0E+b_1A+b_2A^2+b_3A^4+b_4A^8= \mathbb O_{4\times 4} \ .
$$
6.
Пусть $ H_n(\lambda) $ --- характеристический полином матрицы
$$
\left( \begin{array}{ccccccc}
2 & 2 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 \\
2 & 3 & 3 & 3 & \dots & 3 & 3 \\
2 & 3 & 4 & 4 & \dots & 4 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 5 & 5 \\
\vdots & & & & \ddots & & \vdots \\
2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n \\
2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n+1 \\
\end{array}
\right) \ .
$$
Доказать, что
$$ H_n(\lambda)\equiv (1-2\, \lambda)H_{n-1}(\lambda)-\lambda^2 H_{n-2}(\lambda) \ . $$
7.
Найти хотя бы одно собственное число и соответствующий собственный вектор матрицы
{{algebra2:mag_sq2.jpg|}}
((http://dark.gothic.ru/gaudi/29.htm Собор Sagrada Familia, архитектор А.Гауди))
8.
Найти ((:algebra2:charpoly#собственное_число собственные числа)) и ((:algebra2:charpoly#собственный_вектор собственные векторы)) матрицы магического квадрата
{{algebra2:magic_square.jpg}}
с гравюры Дюрера "Меланхолия"
{{algebra2:durer_master_melancholia.jpg}}
9.
Найти собственные числа и собственные векторы ((:algebra2#обратно_симметричная_матрица обратно симметричной матрицы))
$$ \left[w_{j}/w_{k} \right]_{j,k=1}^n \ .$$
10.
Доказать матричное равенство
$$ (\lambda A - E)^{-1}=-E+\lambda (\lambda E - A^{-1})^{-1} \, . $$
11.
Доказать, что матрица
$$
A=
\left( \begin{array}{lllllll}
1 & -1 & 1 & -1 & \dots & (-1)^{n-2} & (-1)^{n-1} \\
C_{n-1}^1 & -C_{n-2}^1 & C_{n-2}^2 & -C_{n-3}^1 & \dots & (-1)^{n-2} & 0 \\
C_{n-1}^2 & -C_{n-2}^2 & C_{n-2}^3 & -C_{n-3}^2 & \dots & 0 & 0 \\
C_{n-1}^3 & -C_{n-2}^3 & C_{n-2}^4 & -C_{n-3}^3 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & & \ddots & & \vdots \\
C_{n-1}^{n-2} & -1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)_{n\times n}
$$
удовлетворяет уравнению
$$
A^{3}=(-1)^{n-1}E \, .
$$
Найти характеристический полином матрицы $ A_{} $.
12
((#источники [1])). Пусть $ f(\lambda)=\det (A-\lambda E ) $, $ \{\lambda_1,\dots, \lambda_n\} $ --- спектр матрицы $ A $, а $ B(\lambda)= \operatorname{adj}(A-\lambda E) $ --- ((:algebra2#обращение_матрицы взаимная матрица)) для характеристической матрицы $ A-\lambda E $. Доказать, что спектр матрицы $ B(\lambda) $ ---
$$ \{ -f_1(\lambda),\dots, -f_n(\lambda) \} \quad npu \quad \left\{ f_j(\lambda)\equiv \frac{f(\lambda)}{\lambda-\lambda_j} \right\}_{j=1}^n \, . $$
13.
Найти спектр матрицы
$$
E_{n\times n}-\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) (x_1,\dots,x_n)
$$
при $ x_1^2+\dots+x_n^2=1 $.
14.
Для любой матрицы $ A $ один из коэффициентов характеристического полинома совпадает, с точностью до знака, с одним из коэффициентов характеристического полинома ((:algebra2#обращение_матрицы взаимной матрицы)) $ \operatorname{adj}(A) $. Какой это коэффициент?
15.
У матрицы $ A \in \mathbb C^{n \times n} $ имеется нулевое собственное число кратности $ 2 $. Какое событие более вероятно: $ \operatorname{rank} A=n-1 $ или $ \operatorname{rank} A=n-2 $?
16.
Вычислить характеристический полином и найти хотя бы один собственный вектор квадратной матрицы ранга $ 1 $.
17.
Пусть матрица $ A_{} $ квадратная порядка $ n_{} $ и $ \operatorname{adj}(A) $ --- матрица ей ((:algebra2/inverse#obratnaja_matrica взаимная)).
**a)** Доказать, что если $ \operatorname{rank} (A) = n-1 $, то $ \operatorname{rank} (\operatorname{adj}(A)) = 1 $. Доказать, что в этом случае любой столбец матрицы $ \operatorname{adj}(A) $ является решением системы уравнений $ AX=\mathbb O_{n\times 1} $.
**б)** Доказать, что любой ((:algebra2:charpoly#собственный_вектор собственный вектор)) матрицы $ A_{} $, соответствующий ненулевому собственному числу, будет собственным и для $ \operatorname{adj}(A) $.
**в)** В случае $ \operatorname{rank} (A) = n-1 $ построить ((:algebra2:charpoly#собственный_вектор характеристический полином)) матрицы $ \operatorname{adj}(A) $.
18.
Пусть $ X_1 $ --- правый собственный вектор матрицы $ A $, принадлежащий собственному числу $ \lambda_1 $,
а $ Y_2 $ --- левый собственный вектор матрицы $ A $, принадлежащий собственному числу $ \lambda_2 $. Доказать, что
$$ Y_2X_1=0 \quad \mbox{если} \ \lambda_1 \ne \lambda_2 \, . $$
Для того, чтобы собственное число $ \lambda_1 $ было кратным необходимо и достаточно, чтобы произведение соответствующих ему левого собственного вектора на правый было нулевым.
19.
((algebra2/charpoly#sobstvennyj_vektor Теорема 16)) утверждает, что если $ X_{\ast} $ --- собственный вектор матрицы $ A $, то он же является собственным вектором матрицы $ A^2 $. Верно ли обратное утверждение: любой собственный вектор $ A^2 $ является собственным для матрицы $ A $?
==Источники==
[1]. **Полиа Г., Сегё Г.**// Задачи и теоремы из анализа//. Т.2. М.Наука. 1978, с.123