!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:charpoly ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ))
==Теорема Гамильтона-Кэли==
В настоящем пункте $ A_{} $ означает квадратную матрицу порядка $ n_{} $ с элементами из $ \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $, а $ f(\lambda) $ --- характеристический полином этой матрицы, т.е.
$$ f(\lambda)= \det (A-\lambda E) = a_0 \lambda^n +a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+ a_n \quad npu \quad a_0=(-1)^n \ . $$
!!Т!! **Теорема [Гамильтон, Кэли].** //Результатом подстановки в характеристический полином// $ \det (A_{}-\lambda E) $ //самой матрицы// $ A_{} $ //будет нулевая матрица//:
$$
\det (A-\lambda E)= (-1)^n \lambda^n +a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+ a_n \ \Rightarrow \
$$
$$
\ \Rightarrow \
(-1)^n A^n +a_1 A^{n-1}+\dots+a_{n-1}A+ a_n E = {\mathbb O}_{n\times n} \ .
$$
**Доказательство**. Рассмотрим характеристическую матрицу $ A-\lambda E $ и вычислим ей ((:algebra2#обращение_матрицы взаимную)) (союзную).
Для $ n_{}=3 $:
$$
B(\lambda)= \operatorname{adj}(A-\lambda E)=\left(
\begin{array}{ccc}
\left|\begin{array}{cc}
a_{22}-\lambda & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}-\lambda
\end{array} \right| &
-\left|\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}-\lambda
\end{array}\right| &
\left|\begin{array}{cc}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22}-\lambda & a_{23}
\end{array}\right|
\\
-\left|\begin{array}{cc}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}-\lambda
\end{array} \right| &
\left|\begin{array}{cc}
a_{11}-\lambda & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}-\lambda
\end{array}\right| &
-\left|\begin{array}{cc}
a_{11}-\lambda & a_{13} \\
a_{21}& a_{23}
\end{array}\right| \\
\left|\begin{array}{cc}
a_{21}& a_{22}-\lambda \\
a_{31} & a_{32}
\end{array} \right| &
-\left|\begin{array}{cc}
a_{11}-\lambda & a_{12} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}\right| &
\left|\begin{array}{cc}
a_{11}-\lambda & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda
\end{array}\right|
\end{array}
\right) \ .
$$
Поскольку элементами матрицы $ B(\lambda) $ являются полиномы степеней
$ \le n-1 $, то $ B(\lambda) $ можно представить в виде ((:algebra2#полином_от_матрицы_и_матричный_полином матричного полинома))
$$B(\lambda)=B_0 + \lambda B_1+\dots+\lambda^{n-1}B_{n-1} \ .$$
Так, например, для случая $ n_{}=3 $ имеем:
$$
B(\lambda)=
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} & a_{32}a_{13}-a_{12}a_{33} & a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22} \\
a_{31}a_{23}-a_{21}a_{33} & a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} & a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23} \\
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} & a_{31}a_{12}-a_{11}a_{32} & a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{array}
\right)
+
$$
$$
+\lambda
\left(
\begin{array}{ccc}
-a_{22}-a_{33} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & -a_{11}-a_{33} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & - a_{11} - a_{22}
\end{array}
\right)
+\lambda^2
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right) \ .
$$
На основании известных ((:algebra2#обращение_матрицы свойств взаимной (союзной) матрицы)) имеем:
$$
B(\lambda) (A-\lambda E) \equiv E \det (A-\lambda E)=E f(\lambda) \ ,
\quad (A-\lambda E) B(\lambda) \equiv E f(\lambda) \ .
$$
Расписываем первое из этих тождеств:
$$B_0A+\lambda (B_1A-B_0)+\dots+\lambda^{n-1} (B_{n-1}A-B_{n-2})-
\lambda^{n}B_{n-1}=
$$
$$\qquad =E(a_n+a_{n-1}\lambda+\dots+a_1\lambda^{n-1}+a_0\lambda^n) $$
и получаем уравнения для определения
неопределенных матриц $ B_0,B_1,\dots,B_{n-1} $.
^ Коэффициент при ^ ^ ^ ^ домножим на ^
^ $ 1_{} $ | $ B_0A $ | = | $ Ea_n $ ^ $ E_{} $ ^
^ $ \lambda_{} $ | $ B_1A-B_0 $ | = | $ E a_{n-1} $ ^ $ A_{} $ ^
^ $ \lambda^2 $ | $ B_2A-B_1 $ | = | $ E a_{n-2} $ ^ $ A^2 $ ^
^ $ \vdots $ | $ \dots $ | | ^ $ \vdots $ ^
^ $ \lambda^{n-1} $ | $ B_{n-1}A-B_{n-2} $ | = | $ E a_{1} $ ^ $ A^{n-1} $ ^
^ $ \lambda^{n} $ | $ -B_{n-1} $ | = | $ E a_{0} $ ^ $ A^{n} $ ^
и просуммируем
$$\mathbb O_{n\times n} = Ea_n+Aa_{n-1}+A^2a_{n-2}+\dots+A^n a_0 \ .$$
♦
!!=>!! Если разложение характеристического полинома на ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры линейные множители)) над
$ \mathbb C_{} $ имеет вид:
$$\det (A_{}-\lambda E)=(-1)^n (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\times
\dots \times (\lambda-\lambda_n)
$$
то
$$
(A-\lambda_1 E)(A-\lambda_2 E)\times \dots \times (A-\lambda_n E)=\mathbb O_{n\times n}
$$
(порядок следования сомножителей несуществен).
!!=>!! Матрицу, взаимную матрице $ A_{}-\lambda E $, можно представить в виде
$$ \operatorname{adj}(A-\lambda E) \equiv $$
$$
\equiv- \left[a_0A^{n-1}+(a_0\lambda+a_1)A^{n-2}+(a_0\lambda^2+a_1\lambda+a_2)A^{n-3}+\dots+ (a_0\lambda^{n-1}+a_1\lambda^{n-2}+\dots+a_{n-1})E \right] \, . $$
Выражение в правой части равенства представляет собой результат формальной подстановки $ x = A $ в частное от деления характеристического полинома $ f(x)=\det (A-x E) $ на $ x - \lambda $ (см. следствие к теореме
☞
((:polynomial:remquo#delimost_polinomov_s_ostatkom ЗДЕСЬ))).
Непосредственной проверкой устанавливается справедливость тождества
$$ (A-\lambda E) \operatorname{adj}(A-\lambda E) \equiv E f(\lambda) \, . $$
Эта матрица может быть использована для ((:algebra2:charpoly#собственный_вектор поиска собственных векторов)) матрицы $ A_{} $.
!!П!! **Пример.** Для матрицы
$$
A=\left(
\begin{array}{rrrr}
-334 & 532 & -168 &-322\\
-194 & 310 &-96 &-185 \\
248 & -392 & 124 & 231\\
-90 & 140 & -48 & -87
\end{array}
\right)
$$
характеристический полином:
$$ \det (A-\lambda E) \equiv (\lambda+2)(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda-9) \, . $$
Матрица
$$ (A-2E)(A-4E)(A-9E)=
\left(
\begin{array}{rrrr}
5544 & -12936 & -7392 &-12936 \\
3168 & -7392 & -4224 &-7392 \\
-3960 & 9240 & 5280 & 9240 \\
1584 & -3696 & -2112 & -3696
\end{array}
\right)
$$
--- ранга $ 1 $, и любой ее столбец является собственным вектором матрицы $ A $, соответствующим собственному числу $ \lambda=-2 $.
Матрица
$$ (A-4E)(A-9E)=
\left(
\begin{array}{rrrr}
5544 & -12936 & -7392 & -12936 \\
3168 & -7392 & -4224 & -7392\\
-3960 & 9240 & 5280 & 9240\\
1584 & -3696 & -2112 & -3696
\end{array}
\right)
$$
--- ранга $ 2 $, и любой ее столбец принадлежит линейной оболочке $ \mathcal L(\mathfrak X_1,\mathfrak X_2) $, где $\mathfrak X_1 $ --- собственный вектор, принадлежащий $ \lambda_1=-2 $, а $\mathfrak X_2 $ --- собственный вектор, принадлежащий $ \lambda_2=2 $.
♦
==Задачи==
☞
((:algebra2/charpoly/ham-cayley/problems ЗДЕСЬ))
== Источник==
**Гантмахер Ф.Р.** //Теория матриц.// 4-е изд. М.Наука. 1988.