!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2/charpoly#lokalizacija_sobstvennyx_chisel Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы матрицы))
----
!!Т!! **Теорема [Гершгорин].**[[Гершгорин Семён Аронович (1901-1933) --- советский математик, выпускник Петроградского Технологического института. Биография
☞
((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gershgorin.html ЗДЕСЬ)) (//англ.//)]] //Обозначим// $ \mathbb D_{j} $ //круг на комплексной
плоскости// $ \mathbb C_{} $ //с центром в точке// $ a_{jj}^{} $ //и радиуса//
$$ r_j=\sum_{\ell=1 \atop \ell\ne j}^n \left|a_{j \ell}\right| \ .$$
//Тогда спектр матрицы// $ A_{} $ //лежит внутри объединения этих кругов//:
$$ \{\lambda_1,\dots, \lambda_n \} \subset \bigcup_{j=1}^n \mathbb D_j \ . $$
//Иными словами: любое собственное число матрицы должно удовлетворять хотя бы одному из
неравенств//
$$ |z- a_{jj} | < r_j \ . $$
**Доказательство.** Пусть ${\mathfrak X}=\left[{\mathfrak x}_1,\dots,{\mathfrak x}_n \right]^{^{\top}}$ ---
собственный вектор матрицы $A$, соответствующий собственному числу $\lambda$:
$$ A{\mathfrak X}=\lambda{\mathfrak X}\, . $$
Выделим у этого вектора максимальную по абсолютной величине координату: пусть
$$\left|{\mathfrak x}_j \right|=
\max_{1 \le k \le n} \left|{\mathfrak x}_k \right| \enspace .$$
Рассмотрим тогда $j$-ю компоненту равенства $A{\mathfrak X}=\lambda{\mathfrak X}$:
$$ \sum_{k=1}^n a_{jk} {\mathfrak x}_{k} = \lambda {\mathfrak x}_{j}
\ \Rightarrow \ \sum_{k=1}^n a_{jk} {\mathfrak x}_{k}
- a_{jj}{\mathfrak x}_{j} =\lambda {\mathfrak x}_{j} - a_{jj}{\mathfrak x}_{j} \enspace . $$
Переходя к модулям, получаем:
$$
\left|\lambda - a_{jj} \right| \cdot \left|{\mathfrak x}_{j} \right|=
\left| \sum_{k \ne j} a_{jk} {\mathfrak x}_{k} \right| \le
\sum_{k \ne j} \left| a_{jk} \right| \cdot \left| {\mathfrak x}_{k}\right|
\le \left| {\mathfrak x}_{j}\right| \sum_{k \ne j} \left| a_{jk} \right|
\enspace .
$$
Поделив обе части неравенства на $\left|{\mathfrak x}_{j} \right|$, придем к
$\left|\lambda - a_{jj} \right|\le r_j$; последнее неравенство говорит о том,
что $\lambda \in \mathbb D_j \ \Rightarrow \ \lambda \in \bigcup_{j=1}^n \mathbb D_j$.
♦
!!П!! **Пример.** Построить круги Гершгорина для матрицы
$$ A=\left(
\begin{array}{crr}
-1+3\,{\mathbf i} & 2- {\mathbf i} & 3+2\, {\mathbf i} \\
-1+{\mathbf i} & 4+ {\mathbf i} & 3\, {\mathbf i} \\
-1& 2-2\,{\mathbf i}& -2-3\, {\mathbf i}
\end{array}
\right) . $$
**Решение.**
$$|\lambda + 1 - 3\,{\mathbf i} |\le | 2-{\mathbf i} |+| 3+2\,{\mathbf i} |=\sqrt{5}+\sqrt{13},\ $$
$$|\lambda - 4 - {\mathbf i} |\le 3+\sqrt{2},\ $$
$$ |\lambda + 2+ 3\, {\mathbf i} |\le 1 + 2\sqrt{2} \ . $$
{{ polynomial:gershgorin2.gif |}}
**Проверка.** Собственные числа матрицы $ A_{} $ (на рисунке обозначены красными крестиками):
$$ \{ -2.509081750-3.442241533\,{\mathbf i} ,\ -1.041999986+2.655757676\,{\mathbf i} ,\ 4.551081736+1.786483857\, {\mathbf i} \} .$$
!!?!! Построить круги Гершгорина для матрицы
$$ A=\left(
\begin{array}{rrr}
-2 & 4+7\, {\mathbf i} & -3-7 \, {\mathbf i} \\
-1& 6+2\, {\mathbf i} & -5-2\, {\mathbf i} \\
-3& 4+7\, {\mathbf i} &-2-7\, {\mathbf i}
\end{array}
\right) \ . $$