== Пример решения ==

Вычислить

$$
\left|
\begin{array}{rrrrr}
2  & 2  & 1  & 3  & 4\\
3  &1  &2  &3  &1\\
4 & -1  &2  &4  &-2\\
1 &-1 &1  &1 & 2\\
4  & -1  & 2  &5  & 6
\end{array}
\right|   .
$$

=== Решение ==

Будем добиваться появления нулей во втором столбце.
С этой целью прибавим вторую строку к третьей, четвертой и пятой,
а также вычтем, домножив предварительно на $ 2 $, из первой:

$$
=\left|
\begin{array}{rrrrr}
-4  & 0  & -3  & -3  & 2\\
3  &1  &2  &3  &1\\
7 & 0  &4  &7  &-1\\
4 & 0 &3  &4 & 3\\
7  & 0  & 4  &8  & 7
\end{array}
\right|=
$$

раскладываем по второму столбцу:

$$
=\left|
\begin{array}{rrrr}
-4  &  -3  & -3  & 2\\
7 & 4  &7  &-1\\
4 & 3  &4 & 3\\
7  &  4  &8  & 7
\end{array}
\right|=
$$

и вот уже порядок понизился. Вычитаем из третьего столбца первый:

$$
=\left|
\begin{array}{rrrr}
-4 &  -3   & 1  & 2\\
7 &    4   &0  &-1\\
4 &    3   &0  & 3\\
7 &    4   &1  & 7
\end{array}
\right|=
$$

теперь имеет смысл увеличить число нулевых элементов в третьем
столбце -- вычитаем из четвертой строки первую:

$$
=\left|
\begin{array}{rrrr}
-4 &  -3   & 1  & 2\\
7 &    4   &0  &-1\\
4 &    3   &0  & 3\\
11 &    7   &0  & 5
\end{array}
\right|=
$$

Раскладываем по третьему столбцу:

$$
=\left|
\begin{array}{rrr}
7 &    4   &-1\\
4 &    3   & 3\\
11 &   7  & 5
\end{array}
\right|=
$$

Можно было бы применить теперь формулу разложения определителя
третьего порядка, но можно и продолжить упрощения -- вычтем из
третьей строки первую и вторую:

$$
=\left|
\begin{array}{rrr}
7 &    4   &-1\\
4 &    3   & 3\\
0 &   0  & 3
\end{array}
\right|=
$$

и разложим по третьей строке:

$$
=3\left|
\begin{array}{rr}
7 &    4  \\
4 &    3  \\
\end{array}
\right|=3(21-16)=15   .
$$

=== Ответ ==

**15**.

¤