!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:dets ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ))

==Теорема Бине-Коши==


**Задача.** Пусть произведение двух матриц  дает квадратную:
$$ C_{m\times m}^{}=A_{m\times n}\cdot B_{n\times m} \, .$$
Выразить $ \det C_{} $ через миноры матриц $ A_{} $ и $ B_{} $.

!!Т!! **Теорема 1 [Бине, Коши].**

$$\det C=\left\{\begin{array}{ll}
        0& npu\ m>n; \\
        \det A \cdot \det B&  npu \ m=n; \\
     \displaystyle \sum_{1\le \beta_1<\dots<\beta_m \le n }
A\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & \dots & m \\
\beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m
\end{array}
\right)
B\left( \begin{array}{llll}
\beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \\
1 & 2 & \dots & m
\end{array}
\right)& npu\ m<n. 
\end{array} \right. $$

Схематически:

{{ algebra2:binet_cauchy11.png |}}

{{ algebra2:binet_cauchy21.png |}}

!!П!! **Пример.** Для

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
\color{Red}a_{11} & \color{Blue}a_{12} &  \color{Turquoise}a_{13} & a_{14} \\
\color{Red}a_{21} & \color{Blue}a_{22} &  \color{Turquoise}a_{23} & a_{24} \\
\color{Red}a_{31} & \color{Blue}a_{32} &  \color{Turquoise}a_{33} & a_{34}  
\end{array}
\right) \ , 
B=\left(\begin{array}{ccc}
\color{Red} b_{11} & \color{Red} b_{12} & \color{Red} b_{13} \\
\color{Blue}b_{21} & \color{Blue}b_{22} & \color{Blue}b_{23} \\
\color{Turquoise}b_{31} & \color{Turquoise}b_{32} & \color{Turquoise}b_{33} \\
b_{41} & b_{42} & b_{43} 
\end{array}
\right) 
$$
теорема Бине-Коши утверждает, что
$$
\det(AB)=
$$
$$
=\left|
\begin{array}{ccc}
\color{Red}a_{11} & \color{Blue}a_{12} & \color{Turquoise} a_{13}  \\
\color{Red}a_{21} & \color{Blue}a_{22} &  \color{Turquoise}a_{23}  \\
\color{Red}a_{31} & \color{Blue}a_{32} &  \color{Turquoise}a_{33}   
\end{array}
 \right| \cdot
\left|
\begin{array}{ccc}
\color{Red}b_{11} & \color{Red}b_{12} & \color{Red}b_{13}  \\
\color{Blue}b_{21} & \color{Blue}b_{22} & \color{Blue}b_{23}  \\
\color{Turquoise}b_{31} & \color{Turquoise}b_{32} & \color{Turquoise}b_{33}   
\end{array}
 \right| +
\left|
\begin{array}{ccc}
\color{Red}a_{11} & \color{Blue}a_{12} & a_{14}  \\
\color{Red}a_{21} & \color{Blue}a_{22} & a_{24}  \\
\color{Red}a_{31} & \color{Blue}a_{32} & a_{34}   
\end{array}
 \right| \cdot
\left|
\begin{array}{ccc}
\color{Red}b_{11} & \color{Red}b_{12} & \color{Red}b_{13}  \\
\color{Blue}b_{21} & \color{Blue}b_{22} & \color{Blue}b_{23}  \\
b_{41} & b_{42} & b_{43}   
\end{array}
 \right| +
$$
$$
+ \left|
\begin{array}{ccc}
\color{Red}a_{11} &   \color{Turquoise}a_{13} & a_{14} \\
\color{Red}a_{21} &   \color{Turquoise}a_{23} & a_{24} \\
\color{Red}a_{31} &   \color{Turquoise}a_{33} & a_{34}
\end{array}
 \right|
\cdot
\left|
\begin{array}{ccc}
\color{Red}b_{11} & \color{Red}b_{12} & \color{Red}b_{13}  \\
\color{Turquoise}b_{31} & \color{Turquoise}b_{32} & \color{Turquoise}b_{33}    \\
b_{41} & b_{42} & b_{43}   
\end{array}
 \right| + 
\left|
\begin{array}{ccc}
\color{Blue}a_{12} & \color{Turquoise}a_{13} & a_{14} \\
\color{Blue}a_{22} & \color{Turquoise}a_{23} & a_{24} \\
\color{Blue}a_{32} & \color{Turquoise}a_{33} & a_{34}  
\end{array}
 \right| \cdot
\left|
\begin{array}{ccc}
\color{Blue}b_{21} & \color{Blue}b_{22} & \color{Blue}b_{23} \\
\color{Turquoise}b_{31} & \color{Turquoise}b_{32} & \color{Turquoise}b_{33}   \\
b_{41} & b_{42} & b_{43} 
\end{array}
 \right|  \, .
$$
 <html>
  <font face="Times">
        <font color="#ff00ff" size="+2">♦</font>
  </font>
</html>



**Доказательство** теоремы проведем только для второй из формул, для 
простоты рассуждений рассмотрев случай $ m=n=3 $. Составим вспомогательный определитель порядка $ m+n=6 $:
$$
{\mathfrak B}=\left|
\begin{array}{cc}
A & \mathbb O \\
-E & B 
\end{array}
\right|=
\left| 
\begin{array}{rrrrrr}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & & & \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & &\mathbb O & \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & & & \\
-1 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
0 & -1 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
0 & 0 & -1 & b_{31} & b_{32} & b_{33} 
\end{array}
\right|  
$$
На основании ((:algebra2:dets#теорема_лапласа теоремы Лапласа)) этот определитель 
$$ {\mathfrak B}=\det A \det B \, .  $$

С другой стороны, действуя над его столбцами, добьемся, чтобы все элементы в правом нижнем углу обратились в нуль. Для этого прибавим к четвертому столбцу
первый, умноженный на $ b_{11} $, второй, умноженный на $ b_{21} $ и третий, умноженный 
на $ b_{31} $. Величина определителя от этого не изменится: 
$$
{\mathfrak B}=\left| 
\begin{array}{rrrlll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &d_{11} &0 &0 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} &d_{21} &0 &0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} &d_{31} &0 &0 \\
-1 & 0 & 0 &0 & b_{12} & b_{13} \\
0 & -1 & 0 &0 & b_{22} & b_{23} \\
0 & 0 & -1 &0 & b_{32} & b_{33} 
\end{array}
\right|, \quad \mbox{ где } \quad  
\left\{ \begin{array}{ccc}
d_{11}&=&a_{11}b_{11}+ a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31},\\
d_{21}&=&a_{21}b_{11}+ a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31},\\
d_{31}&=&a_{31}b_{11}+ a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31}.
\end{array} \right.
$$
Видим, что элементы $ d_{j1} $ формируются по закону умножения матриц $ A $ и $ B $:
$ j $-я строчка матрицы $ A $ умножается на первый столбец матрицы $ B $. 
Следовательно, $ d_{j1}=c_{j1} $. Проделав аналогичные преобразования,
ведущие к обнулению оставшихся элементов матрицы $ B $, получим в
результате:
$$ 
{\mathfrak B}=\left|
\begin{array}{cc}
A & C \\
-E & \mathbb O
\end{array}
\right|.
$$
Снова применяем ((:algebra2:dets#теорема_лапласа теорему Лапласа)), теперь уже для миноров последних трех строк 
(т.е. $ \alpha_1=4,\alpha_2=5,\alpha_3=6 $):
$$
{\mathfrak B}=(-1)^{4+5+6+1+2+3}\det\, (-E) \cdot \det \,C =\det \, C \, .
$$
Сравнивая два представления одного и того же определителя, получаем справедливость
формулы $ \det C= \det A \cdot \det B $. <html>
  <font face="Times">
        <font color="#ff00ff" size="+1">♦</font>
  </font>
</html>

!!T!! **Теорема 2.** //Для любой __вещественной__ матрицы// $ A $ //выполнено неравенство//:

$$ \det (A\cdot A^{\top}) \ge 0 \ ; $$
//при этом неравенство будет строгим тогда и только тогда, когда ((:algebra2:rank ранг матрицы))// $ A_{} $ //совпадает с числом ее строк//: 
$$ \det (A\cdot A^{\top}) > 0 \quad \iff \quad \operatorname{rank} (A_{m\times n})=m \, . $$  
  
**Доказательство** проиллюстрируем на примере матрицы, содержащей $ m=2_{} $ строки:
$$
A=\left(\begin{array}{rrrr}
a_1 & a_2 & \dots & a_n \\
b_1 & b_2 & \dots & b_n
\end{array}
\right) \ .
$$
Имеем: 
$$
\det(A\cdot A^{\top}) =\left|\begin{array}{cc}
a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2 & a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n \\
a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n & b_1^2+ b_2^2 + \dots + b_n^2 
\end{array}
\right| = 
$$
$$
=(a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2+ b_2^2 + \dots + b_n^2)-(a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n)^2 
$$
С другой стороны, на основании теоремы Бине-Коши, получаем
$$
\det(A\cdot A^{\top})=
\left| 
\begin{array}{rr}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{array}
\right|^2 +  \dots + \left| 
\begin{array}{rr}
a_j & a_ k \\
b_j & b_k
\end{array}
\right|^2 + \dots + \left| 
\begin{array}{rr}
a_{n-1} & a_n \\
b_{n-1} & b_n
\end{array}
\right|^2 \ ;
$$
(здесь $ j < k_{} $). Таким образом, получаем **неравенство Коши-Буняковского**:
$$ | a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n |\le \sqrt{a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2} \cdot 
\sqrt{b_1^2+b_2^2 + \dots + b_n^2} \ .
$$
Равенство здесь возможно тогда и только тогда, когда все определители 
$$
\left| 
\begin{array}{rr}
a_j & a_ k \\
b_j & b_k
\end{array}
\right| \ npu \ 1\le j < k \le n
$$
обратятся в нуль. Но это ((algebra2:rank == равносильно)) тому, что 
$$
\operatorname{rank} (A_{2\times n})<2 
$$
или, что то же, строки 
$ (a_1,a_2,\dots,a_{n}) $ и  $ (b_1,b_2,\dots,b_{n}) $ пропорциональны:
$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots = \frac{a_n}{b_n} \ .   $$ 
<html>
  <font face="Times">
        <font color="#ff00ff" size="+2">♦</font>
  </font>
</html>

!!=>!! Для произвольных систем 

$$ \{a_1,\dots,a_n\} \quad \mbox { и } \quad \{b_1,\dots,b_n\} $$
вещественных чисел справедливы **тождества Эйлера-Лагранжа**[[Эйлер доказал для случая $ n=4 $, Лагранж --- для $ n=3 $]]
$$
\left(\sum_{j=1}^n a_j^2 \right)\left(\sum_{j=1}^n b_j^2 \right)=\left(\sum_{j=1}^n a_jb_j \right)^2+
\sum_{1\le j<k\le n}^n \left( a_jb_k-a_kb_j \right)^2 \, . 
$$
Иными словами произведение двух чисел, каждое из которых равно сумме квадратов является числом, равным сумме квадратов:

!!И!! Биографические заметки о Коши  <html>
  <font face="Times">
        <font color="#ff00ff" size="+2"> ☞

</font>
  </font>
</html> ((:biogr#koshi ЗДЕСЬ)).

!!?!! Доказать ((:complex_num#neravenstva_dlja_modulja неравенство треугольника)) применением теоремы Бине-Коши к произведению

$$
M\cdot M^{\top} \quad \mbox{при} \quad M:=\left(\begin{array}{ccc} z_1, & \dots, & z_n  \\ \overline{z_1}, & \dots, & \overline{z_n} 
\end{array} \right) \, .
$$