!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:dets ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ)) ==Теорема Бине-Коши== **Задача.** Пусть произведение двух матриц дает квадратную: $$ C_{m\times m}^{}=A_{m\times n}\cdot B_{n\times m} \, .$$ Выразить $ \det C_{} $ через миноры матриц $ A_{} $ и $ B_{} $. !!Т!! **Теорема 1 [Бине, Коши].** $$\det C=\left\{\begin{array}{ll} 0& npu\ m>n; \\ \det A \cdot \det B& npu \ m=n; \\ \displaystyle \sum_{1\le \beta_1<\dots<\beta_m \le n } A\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & \dots & m \\ \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \end{array} \right) B\left( \begin{array}{llll} \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \\ 1 & 2 & \dots & m \end{array} \right)& npu\ m ♦ !!T!! **Теорема 2.** //Для любой __вещественной__ матрицы// $ A $ //выполнено неравенство//: $$ \det (A\cdot A^{\top}) \ge 0 \ ; $$ //при этом неравенство будет строгим тогда и только тогда, когда ((:algebra2:rank ранг матрицы))// $ A_{} $ //совпадает с числом ее строк//: $$ \det (A\cdot A^{\top}) > 0 \quad \iff \quad \operatorname{rank} (A_{m\times n})=m \, . $$ **Доказательство** проиллюстрируем на примере матрицы, содержащей $ m=2_{} $ строки: $$ A=\left(\begin{array}{rrrr} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{array} \right) \ . $$ Имеем: $$ \det(A\cdot A^{\top}) =\left|\begin{array}{cc} a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2 & a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n \\ a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n & b_1^2+ b_2^2 + \dots + b_n^2 \end{array} \right| = $$ $$ =(a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2+ b_2^2 + \dots + b_n^2)-(a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n)^2 $$ С другой стороны, на основании теоремы Бине-Коши, получаем $$ \det(A\cdot A^{\top})= \left| \begin{array}{rr} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array} \right|^2 + \dots + \left| \begin{array}{rr} a_j & a_ k \\ b_j & b_k \end{array} \right|^2 + \dots + \left| \begin{array}{rr} a_{n-1} & a_n \\ b_{n-1} & b_n \end{array} \right|^2 \ ; $$ (здесь $ j < k_{} $). Таким образом, получаем **неравенство Коши-Буняковского**: $$ | a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n |\le \sqrt{a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2 + \dots + b_n^2} \ . $$ Равенство здесь возможно тогда и только тогда, когда все определители $$ \left| \begin{array}{rr} a_j & a_ k \\ b_j & b_k \end{array} \right| \ npu \ 1\le j < k \le n $$ обратятся в нуль. Но это ((algebra2:rank == равносильно)) тому, что $$ \operatorname{rank} (A_{2\times n})<2 $$ или, что то же, строки $ (a_1,a_2,\dots,a_{n}) $ и $ (b_1,b_2,\dots,b_{n}) $ пропорциональны: $$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots = \frac{a_n}{b_n} \ . $$ ♦ !!=>!! Для произвольных систем $$ \{a_1,\dots,a_n\} \quad \mbox { и } \quad \{b_1,\dots,b_n\} $$ вещественных чисел справедливы **тождества Эйлера-Лагранжа**[[Эйлер доказал для случая $ n=4 $, Лагранж --- для $ n=3 $]] $$ \left(\sum_{j=1}^n a_j^2 \right)\left(\sum_{j=1}^n b_j^2 \right)=\left(\sum_{j=1}^n a_jb_j \right)^2+ \sum_{1\le j ☞ ((:biogr#koshi ЗДЕСЬ)).