!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:2form#znakoopredelennost КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА))
----
==Знакоопределенность квадратичной формы==
!!Т!! **Теорема 1.** //Ненулевая квадратичная форма, представленная в ((#матричная_форма_записи_квадратичной_формы правильном виде))// $ f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X $, //будет
неотрицательной тогда и только тогда, когда ее ((#закон_инерции отрицательный индекс инерции)) равен нулю://
$$ n_{-} ({\mathbf A})=0 \qquad \iff \qquad \qquad \sigma (
{\mathbf A})=\operatorname{rank} {\mathbf A} \ .$$
//Если это условие выполнено, то для положительной определенности формы необходимо и достаточно чтобы она была невырождена:// $ \det {\mathbf A} \ne 0 $.
**Доказательство.**
По теореме из
☞
((:2form#матричная_форма_записи_квадратичной_формы ПУНКТА)) всегда найдется невырожденная замена переменных $ X=CY $, приводящая квадратичную форму к каноническому виду:
$$
f(X)=\alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 \ , \ {\mathfrak r}=\operatorname{rank} f \, .
$$
Для записи обратной замены переменных $ Y=C^{-1}X $
обозначим $ \widetilde C = C^{-1} $:
$$\widetilde C=\left[\widetilde c_{jk} \right]_{j,k=1}^n \, . $$
**Достаточность.** Если $ n_{-} ({\bf A})=0 $, то $ \alpha_1>0,\dots, \alpha_{\mathfrak r}>0 $, и тогда $ f(X)\ge 0 $.
**Необходимость.** Пусть теперь $ f(X)\ge 0 $, но
$ n_{-} ({\bf A})>0 $, т.е. в каноническом виде какой-то коэффициент отрицателен:
$ \alpha_j<0 $.
Система линейных уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{llll}
{\widetilde c}_{11}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{1n}x_n &=0 \\
\dots & & & \dots \\
{\widetilde c}_{j-1,1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{j-1,n}x_n &=0 \\
{\widetilde c}_{j+1,1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{j+1,n}x_n &=0 \\
\dots & & & \dots \\
{\widetilde c}_{n1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{nn}x_n &=0
\end{array}
\right.
$$
является однородной и имеет нетривиальное решение $ X=X_{\ast} $
(поскольку число уравнений меньше числа переменных). Соответствующие значения
переменных $ Y=Y_{\ast}=\widetilde CX_{\ast} $ обратятся в нуль:
$$y_{1\ast}=0,\dots,y_{j-1,\ast}=0,y_{j+1,\ast}=0,\dots, y_{n\ast}=0 \, . $$
Однако же $ y_{j,\ast} $ должно быть отличным от нуля. В противном случае
$ Y_{\ast}=\mathbb O $ и система $ \widetilde CX=\mathbb O $ имеет нетривиальное решение
$ X=X_{\ast} $. Тогда на основании теоремы 1 из
☞
((:algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений ПУНКТА)) должно
выполняться равенство $ \det \widetilde C=0 $, что невозможно, поскольку $ \det C \ne 0 $.
Поэтому $ f(X_{\ast})=\alpha_j y_{j,\ast}^2<0 $, но это противоречит
предположению о неотрицательности $ f(X) $. Итак, предположение
$ n_{-} ({\bf A})>0 $ ошибочно, т.е. $ n_{-} ({\bf A})=0 $.
Осталось доказать, что для положительной определенности Н. и Д., чтобы $ {\mathfrak r}=n $,
т.е. $ \det {\mathbf A} \ne 0 $. Предположив, что $ {\mathfrak r}0,\dots, \alpha_n>0
\, .
$$
Очевидно, что $ f(X)=0 $ тогда и только тогда, когда $ Y=\mathbb O $, но
это возможно только при условии $ X=\mathbb O $ поскольку $ X=CY $ при $ \det C \ne 0 $.
♦
!!Т!! **Теорема 2 [Сильвестр].** //Квадратичная форма//
$$
f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X
$$
//будет положительно определенной тогда и только тогда, когда все ((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения главные миноры)) ее матрицы положительны//:
$$
a_{11}>0, \ \left| \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{12} & a_{22}
\end{array} \right| >0, \ \left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{22} & a_{23} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array} \right| >0, \dots, \det \mathbf A >0 \ .
$$
**Доказательство** достаточности фактически следует из ((:2form#формула_якоби формулы Якоби)) и теоремы $ 1 $.
**Необходимость.** Пусть $ f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X $ положительно определена. Тогда любая форма
$$f_j(x_1,\dots,x_j) = f(x_1,\dots,x_j,0,\dots, 0)=X_j^{\top}{\mathbf A}_j X_j
\, ,$$
рассматриваемая как форма относительно переменных $ X_j= (x_1,\dots,x_j)^{\top} $,
также будет положительно определенной. В самом деле, если $ f(X)\ge 0 $, то и
$ f_j(X_j)\ge 0 $. Если предположить, что существует $ X_j=X_{j\ast}\ne \mathbb O $
такой, что $ f_j(X_j)=0 $, то при
$$X=X_{\ast}=(x_{1\ast},\dots, x_{j\ast},0,\dots,0)^{\top} $$
обратится в нуль и сама форма $ f(X) $. Это противоречит предположенной положительной определенности
формы. Следовательно, форма $ f_j(X_j) $ является положительно определенной
относительно своих переменных. Но тогда, согласно теореме 1,
ее дискриминант должен быть отличным от нуля: $ \det {\mathbf A}_j \ne 0 $.
Поскольку предшествующие рассуждения справедливы для любого индекса $ j $,
то получаем возможность воспользоваться ((:2form#zakon_inercii формулами
Якоби))
$$
n_{+}(f)={\mathcal P}(1,\det {\mathbf A}_1,\dots, \det {\mathbf A}_n),\
n_{-}(f)={\mathcal V}(1,\det {\mathbf A}_1,\dots, \det {\mathbf A}_n)
$$
для вычисления индекса инерции. Теорема 1
требует, чтобы $ n_{+}(f)=n $, но это возможно только когда все главные
миноры положительны.
♦