!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:2form#formula_jakobi КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА))
----
==Теорема Якоби==
!!Т!! **Теорема (Якоби).** //Квадратичная форма// $ f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X $ //с симметричной матрицей// $ {\mathbf A} $, //ранг которой равен// $ \mathfrak r_{} $, // а ((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения главные миноры))// $ \{\det \mathbf A_j \}_{j=1}^{\mathfrak r} $ // отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду//:
$$
\frac{z_1^2}{1 \cdot \det \mathbf A_1} +\frac{z_2^2}{\det \mathbf A_1 \cdot \det \mathbf A_2}
+\frac{z_3^2}{\det \mathbf A_2 \cdot \det \mathbf A_3} +\dots+\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathbf A_{{\mathfrak r}-1} \cdot \det \mathbf A_{\mathfrak r}}
$$
Здесь
$$
z_1 =\frac{1}{2} \partial f / \partial x_1,\ z_2=
\frac{1}{2}
\left|
\begin{array}{ll}
a_{11} & \partial f / \partial x_1 \\
a_{12} & \partial f / \partial x_2
\end{array}
\right|, \
z_3=
\frac{1}{2}
\left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & \partial f / \partial x_1 \\
a_{12} & a_{22} & \partial f / \partial x_2 \\
a_{13} & a_{23} & \partial f / \partial x_3
\end{array}
\right|, \ \dots \ ,
$$
$$
\qquad \qquad
z_{\mathfrak r}=
\frac{1}{2}
\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,\mathfrak r-1} & \partial f / \partial x_1 \\
a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2,\mathfrak r-1} & \partial f / \partial x_2 \\
\dots & & & \dots & \dots \\
a_{1\mathfrak r } & a_{2\mathfrak r } & \dots & a_{\mathfrak r-1,\mathfrak r } & \partial f / \partial x_{\mathfrak r}
\end{array}
\right|
$$
Доказательство теоремы основано на следующем результате, который приведем с использованием обозначений
$$
\{L_j(x)=1/2\, \partial f /\partial x_j = a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\dots + a_{jn} x_n \}_{j=1}^n ;
$$
$$
\mathbf A\left(
\begin{array}{lll}
\alpha_1 & \dots & \alpha_k \\
\beta_1 & \dots & \beta_k
\end{array}
\right) =
\left|
\begin{array}{lll}
a_{\alpha_1 \beta_1} & \dots & a_{\alpha_1 \beta_k} \\
\dots & & \dots \\
a_{\alpha_k \beta_1} & \dots & a_{\alpha_k \beta_k}
\end{array}
\right|
$$
--- ((:algebra2:notations#matricy_i_opredeliteli минор)) матрицы $ \mathbf A $.
!!Т!! **Теорема (Сильвестр).** Если $ \det \mathbf A \ne 0 $, то
$$
f(X)\equiv - \frac{1}{\det \mathbf A } \left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & L_n(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_n(X) & 0
\end{array}
\right| \, .
$$
Если при некотором $ \mathfrak r_{} \in \{1,\dots, n-1\} $ имеем $ \det \mathbf A_{\mathfrak r} \ne 0 $, то
$$
f(X)\equiv - \frac{1}{\det \mathbf A_{\mathfrak r}} \left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0
\end{array}
\right|
$$
$$
+ \frac{1}{\det \mathbf A_{\mathfrak r}} \sum_{j,k=1}^n \mathbf A \left(
\begin{array}{lllll}
1 & 2 & \dots & \mathfrak r & j \\
1 & 2 & \dots & \mathfrak r & k \\
\end{array}
\right)x_j x_k \, .
$$
**Доказательство** первого тождества следует из элементарных преобразований определителя
$$
\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & L_n(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_n(X) & 0
\end{array}
\right| \, .
$$
Вычтем из последней его строки первую, умноженную на $ x_1 $, вторую, умноженную на $ x_2 $, и т.д., $ n_{} $-ю, умноженную на $ x_n $:
$$
\equiv
\left|
\begin{array}{llllc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & L_n(X) \\
0 & 0 & \dots & 0 & - 1/2 (x_1\partial f /\partial x_1 + x_2\partial f /\partial x_2+\dots+ x_n \partial f /\partial x_n)
\end{array}
\right| \equiv
$$
$$
\equiv - f(X) \det \mathbf A \, .
$$
Для доказательства второго тождества представим сумму
$$
\det \mathbf A_{\mathfrak r} f(X)+\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0
\end{array}
\right|
$$
в виде
$$
\equiv \left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\
0 & 0 & \dots & 0 & f(X)
\end{array}
\right|
+\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0
\end{array}
\right|
$$
$$
\equiv
\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & f(X)
\end{array}
\right| =
$$
$$
=
\left|
\begin{array}{llllc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & \displaystyle \sum_{k=1}^n a_{1k}x_k \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & \displaystyle \sum_{k=1}^n a_{2k}x_k \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & \displaystyle \sum_{k=1}^n a_{\mathfrak r k}x_k \\
\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{j1}x_j & \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{j2}x_j & \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{j\mathfrak r}x_j & \displaystyle \displaystyle \sum_{j,k=1}^n a_{jk}x_jx_k
\end{array}
\right| \, .
$$
Применяя к последнему определителю ((:algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя теорему сложения)), разобьем его на $ n^2 $ слагаемых, каждое из которых имеет вид
$$
\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & a_{1k} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & a_{2k} \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & a_{\mathfrak r k} \\
a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{j\mathfrak r} & a_{jk}
\end{array}
\right|x_jx_k= \mathbf A \left(
\begin{array}{lllll}
1 & 2 & \dots & \mathfrak r & j \\
1 & 2 & \dots & \mathfrak r & k \\
\end{array}
\right) x_jx_k \, .
$$
♦
Заметим, что при $ \mathfrak r < n $ минор
$$
\mathbf A \left(
\begin{array}{lllll}
1 & 2 & \dots & \mathfrak r & j \\
1 & 2 & \dots & \mathfrak r & k \\
\end{array}
\right)
$$
обращается в нуль если хотя бы один из индексов $ j,k $ не превосходит $ \mathbb r $.
!!=>!! Если $ \operatorname{rank} \mathbf A= \mathfrak r $ и $ \det \mathbf A_{\mathfrak r} \ne 0 $, то имеет место **тождество Кронекера**:
$$
X^{\top} \mathbf A X \equiv - \frac{1}{\det \mathbf A_{\mathfrak r}}
\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0
\end{array}
\right| \, .
$$
**Доказательство теоремы Якоби.** Рассмотрим вспомогательную квадратичную форму
$$
f_k(X)=
- \frac{1}{\det \mathbf A_k}
\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} & L_{k}(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{k}(X) & 0
\end{array}
\right| \quad npu \quad k\in\{1,\dots,\mathfrak r\} \, .
$$
Докажем формулу приведения
$$
f_k(X) \equiv f_{k-1}(X)+\frac{z_{k-1}^2}{\det \mathbf A_{k-1} \det \mathbf A_k} \quad npu \quad k\in\{2,\dots,\mathfrak r\} \, .
$$
Применим к определителю
$$
B_{(k+1)\times (k+1)}=\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} & L_{k}(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{k}(X) & 0
\end{array}
\right|
$$
((:dets:sylvester тождество Сильвестра)) в версии
$$
B\left( \begin{array}{cc} k & k+1 \\ k & k+1 \end{array} \right) B = B_{kk}B_{k+1,k+1}-B_{k+1,k}^2 \, .
$$
Имеем:
$$
\det \mathbf A_{k-1} \left(- f_k(X) \det \mathbf A_k\right)\equiv
$$
$$
\equiv \left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,k-1} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,k-1} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{k-1,1} & a_{k-1,2} & \dots & a_{k-1,k-1} & L_{k-1}(X) \\
L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{k-1}(X) & 0
\end{array}
\right|\cdot \det \mathbf A_{k} -
\left|
\begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,k-1} & L_1(X) \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,k-1} & L_2(X) \\
\vdots & & & \vdots & \vdots \\
a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{k,k-1} & L_{k}(X) \\
\end{array}
\right|^2
$$
$$
\equiv \left(- f_{k-1}(X) \det \mathbf A_{k-1}\right) \det \mathbf A_{k} - z_{k}^2 \, ,
$$
откуда и следует доказываемая формула приведения. Применяя ее рекурсивно по $ k $, получаем:
$$
f_{\mathfrak r}(X) \equiv f_{\mathfrak r-1}(X)+\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathbf A_{\mathfrak r-1} \det \mathbf A_{\mathfrak r}}
\equiv f_{\mathfrak r-2}(X)+ \frac{z_{\mathfrak r-1}^2}{\det \mathbf A_{\mathfrak r-2} \det \mathbf A_{\mathfrak r-1}}
+\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathbf A_{\mathfrak r-1} \det \mathbf A_{\mathfrak r}} \equiv \dots
$$
а завершит доказательство формулы Якоби применение тождества Кронекера.
Впрочем, осталась недоказанной линейная независимость линейных форм $ z_1,\dots,z_{\mathfrak r} $.
♦
==Источник==
[1]. **Иохвидов И.С.** //Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы.// М. Наука. 1974.