!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:2form#zakon_inercii КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА))
==Закон инерции==
!!Т!! **Теорема [закон инерции]**. //Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.//
**Доказательство.** Предположим, что в результате двух подстановок квадратичная форма
приведена к каноническим видам:
$$
X^{\top}{\mathbf A}X=\left\{ \begin{array}{ll}
\alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_py_p^2-
\alpha_{p+1}y_{p+1}^2-\dots-\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 & npu \ Y=C_1X,\\
\beta_1z_1^2+\dots+\beta_qz_q^2-
\beta_{q+1}z_{q+1}^2-\dots-\beta_{\mathfrak r}z_{\mathfrak r}^2 & npu \ Z=C_2X,
\end{array}
\right. \quad \det C_j \ne 0 \, .
$$
Здесь все $ \{\alpha_j,\beta_j\}_{j=1}^{\mathfrak r} $ положительны, но $ q>p $. Можно подобрать
вектор
$ X=X_{*}\ne \mathbb O $ так, чтобы у вектора $ Y_{*}=C_1X_{*} $ первые $ p $ компонент,
а у вектора $ Z_{*}=C_2X_{*} $ последние $ {\mathfrak r}-q $ компонент обращались в нуль.
Действительно, число уравнений для определения $ n $ компонент нужного
нам вектора равно $ p+{\mathfrak r}-q={\mathfrak r}-(q-p)<{\mathfrak r}\le n $.
Такая система всегда имеет нетривиальное решение $ X_{*} $, при этом соответствующий ему вектор $ Y_{*} $
будет ненулевым (матрица $ C_1 $ --- невырожденная).
Подстановка $ Y_{*} $ и $ Z_{*} $ в соответствующие канонические виды дает:
$$
X_{*}^{\top}{\mathbf A}X_{*}=
\left\{ \begin{array}{rl}
-\alpha_{p+1}y_{p+1,*}^2-\dots-\alpha_{\mathfrak r}y_{{\mathfrak r},*}^2 & <0 ;\\
\beta_1z_{1,*}^2+\dots+\beta_{q}z_{q,*}^2 & \ge 0 .
\end{array}
\right.
$$
Противоречие доказывает ошибочность предположения $ q>p $.
♦
!!?!! Пусть квадратичная форма ((:2form#знакоопределенность знакопеременна)) и приводится к двум разным каноническим видам
$$
X^{\top}{\mathbf A}X=\left\{ \begin{array}{ll}
\alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_py_p^2-
\alpha_{p+1}y_{p+1}^2-\dots-\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 & npu \ Y=C_1X,\\
\beta_1z_1^2+\dots+\beta_pz_p^2-
\beta_{p+1}z_{p+1}^2-\dots-\beta_{\mathfrak r}z_{\mathfrak r}^2 & npu \ Z=C_2X,
\end{array}
\right. \quad \det C_j \ne 0 \, .
$$
Здесь все $ \{\alpha_j,\beta_j\}_{j=1}^{\mathfrak r} $ положительны.
Доказать, что если при некотором $ X=X_{\ast} $ выполняется
$$ y_1=0,\dots, y_{\mathfrak r}=0,z_{p+1}=0,\dots, z_{\mathfrak r}=0 $$
то $ X_{\ast}^{\top}{\mathbf A}X_{\ast} =0 $.